Definisi dan Nilai Suku Banyak (Polinomial) Dilengkapi Soal Latihan dan Pembahasan
Pengertian Suku Banyak (Polinomial)
Bentuk umum suku banyak (polinomial) adalah:
$a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_{1}x^{1} + a_{0},\ a_{n} \neq 0$
Suku banyak di atas dikatakan suku banyak (polinomial) berderajat $n$, dimana $n$ adalah pangkat tertinggi dari suku banyak (polinomial).
Suku banyak (polinomial) secara umum dapat ditulis dalam dua bentuk yaitu Suku banyak (polinomial) dalam sebuah fungsi yaitu $P(x)=a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_{1}x^{1} + a_{0}$ atau suku banyak (polinomial) dalam sebuah persamaan yaitu $a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_{1}x^{1} + a_{0}=0$.
Koefisien adalah angka didepan variabel suku banyak. Koefisien dari $x^{n}$ adalah $a_{n}$, koefisien $x^{n-1}$ adalah $a_{n-1}$ da seterusnya. Untuk $a_{0}$ dapat juga disebut dengan konstanta.
Sebagai contoh diberikan suku banyak (polinomial) $5x^{4} + 2x^{3} – 6x^{2} + 8x – 7$,
- Polinomial tersebut dinamanakan polinomial berderajat $4$.
- Koefisien dari $x^{4}$ adalah $5$, koefisien dari $x^{3}$ adalah $2$, koefisien $x^{2}$ adalah $-6$, koefisien $x$ adalah $8$ dan konstanta adalah $-7$.
Untuk tambahan penjelasan, kita lihat contoh soal berikut ini:
1. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Tentukan derajat polinom $\left(2x^{2} + 5 \right) \left( x^{3} – 4 \right)$$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \left(2x^{2} + 5 \right) \left( x^{3} – 4 \right) \\
& =2x^{2} \cdot x^{3} -4 \cdot 2x^{2} + 5 \cdot x^{3} + 5 \cdot (-4) \\
& =2x^{5} -4x^{2} + 5 x^{3} -20 \\
& =2x^{5} + 5 x^{3} -4x^{2} -20
\end{align}$
Derajat suku banyak adalah derajat $5$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$
2. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Tentukan derajat polinom $\left( x-4 \right) \left( 2x^{2} +6x \right)$$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \left( x-4 \right) \left( 2x^{2} +6x \right) \\
& =x \cdot 2x^{2} + x \cdot 6x - 4 \cdot 2x^{2} + 6x \\
& = 2x^{3} + 6x^{2} - 8x^{2} - 24x \\
& = 2x^{3} - 2 x^{2} -24x
\end{align}$
Derajat suku banyak adalah derajat $3$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3$
3. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Tentukan koefisien suku ke-$3$ dari uraian bentuk $\left(2x – 4 \right) \left(x^{2} + 3x + 1 \right)$$\begin{align} (A)\ & -10 \\ (B)\ & -11 \\ (C)\ & -12 \\ (D)\ & -13 \\ (E)\ & -14 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \left(2x – 4 \right) \left(x^{2} + 3x + 1 \right) \\
& =2x \cdot x^{2} + 2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 - 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot 3x - 4 \cdot 1 \\
& =2x^{3} + 6x^{2} + 2x - 4x^{2} - 12x - 4 \\
& = 2x^{3} - 2 x^{2} -10x - 4
\end{align}$
Koefisien suku ke-$3$ adalah $-10$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10$
4. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Tentukan koefisien $x^{2}$ dari uraian bentuk $\left( x+2 \right) \left( x-5 \right)\left( 2x+3 \right)$$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align}
& \left( x+2 \right) \left( x-5 \right)\left( 2x+3 \right) \\
& = \left( x \cdot x + x \cdot (-5) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-5) \right) \left( 2x+3 \right) \\
& = \left( x^{2} -5x + 2x -10 \right) \left( 2x+3 \right) \\
& = \left( x^{2} -3x -10 \right) \left( 2x+3 \right) \\
& = x^{2} \cdot 2x +x^{2} \cdot 3 - 3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 - 10 \cdot 2x - 10 \cdot 3 \\
& = 2x^{3} +3x^{2} - 6x^{2} - 9x - 20x - 30 \\
& = 2x^{3} -3x^{2} - 29x - 30
\end{align}$
Koefisien suku $x^{2}$ adalah $-3$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -3$
Nilai Suku Banyak (Polinomial)
Nilai polinomial adalah nilai yang didapat dengan cara mensubstitusikan angka tertentu pada variabel polinomial. Sebagai contoh pada polinomial $P(x) = 3x^{4} – x^{3} + 2x^{2} – 5x + 4$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = 2$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = 3x^{4} – x^{3} + 2x^{2} – 5x + 4 \\
P\left( 2 \right) & = 3\left( 2 \right)^{4} – \left( 2 \right)^{3} + 2\left( 2 \right)^{2} – 5\left( 2 \right) + 4 \\
& = 3 \left( 16 \right) – \left( 8 \right) + 2\left( 4 \right) – 10 + 4 \\
& = 48 – 8 + 8 – 6 \\
& = 42
\end{align}$
Selain dengan cara di atas, menentukan nilai polinomial dapat pula dengan bantuan skema Horner, yakni :
Analisa dari bentuk skema Horner didapat dengan mengubah bentuk polinom diatas menjadi:
$\begin{align}
P(x) & = 3x^{4} – x^{3} + 2x^{2} – 5x + 4 \\
& = \left( 3x^{3} – x^{2} + 2x – 5 \right) x + 4 \\
& = \left( \left( 3x^{2} – x + 2 \right) x - 5 \right) x + 4 \\
& = \left( \left( \left( 3x – 1\right) x + 2 \right) x - 5 \right) x + 4
\end{align}$
Sehingga ketika disubstitusikan $x = 2$, menjadi:
$\begin{align}
P(x) & = \left( \left( \left( 3x – 1\right) x + 2 \right) x - 5 \right) x + 4 \\
P(2) & = \left( \left( \left( 3(2) – 1\right) (2) + 2 \right) (2) - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( \left( \left( 6 – 1\right) (2) + 2 \right) (2) - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( \left( \left( 5\right) (2) + 2 \right) (2) - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( \left( 10 + 2 \right) (2) - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( \left( 12 \right) (2) - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( 24 - 5 \right) (2) + 4 \\
& = \left( 19 \right) (2) + 4 \\
& = 38 + 4 \\
& = 42
\end{align}$
Alur proses diatas sama seperti alur pada skema Horner.
5. Soal Latihan Definisi Polinomial
Tentukan nilai polinomial $x^{3} – 2x^{2} + 3x – 5$ untuk $x = 3$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 13 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal polinomial $P(x) = x^{3} – 2x^{2} + 3x – 5$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = 3$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = x^{3} – 2x^{2} + 3x – 5 \\
P\left( 3 \right) & = \left( 3 \right)^{3} – 2\left( 3 \right)^{2} + 3\left( 3 \right) – 5 \\
& = 27-18+9-5 \\
& = 13
\end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 13$
6. Soal Latihan Definisi Polinomial
Tentukan nilai polinomial $2x^{4} – 3x^{3} + x^{2} – 5x – 6$ untuk $x = 3$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 65 \\ (B)\ & 66 \\ (C)\ & 67 \\ (D)\ & 68 \\ (E)\ & 69 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal polinomial $P(x) = 2x^{4} – 3x^{3} + x^{2} – 5x – 6$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = 3$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = 2x^{4} – 3x^{3} + x^{2} – 5x – 6 \\
P\left( 3 \right) & = 2\left( 3 \right)^{4} – 3\left( 3 \right)^{3} + \left( 3 \right)^{2} – 5\left( 3 \right) – 6 \\
& = 162-81+9-15-6 \\
& = 69
\end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 69$
7. Soal Latihan Definisi Polinomial
Tentukan nilai polinomial $2x^{4} – 4x^{2} + 5x +2$ untuk $x = -1$ adalah...$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & -4 \\ (E)\ & -5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal polinomial $P(x) = 2x^{4} – 4x^{2} + 5x +2$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = -1$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = 2x^{4} – 4x^{2} + 5x +2 \\
P\left( -1 \right) & = 2\left( -1 \right)^{4} – 4\left( -1 \right)^{2} + 5\left( -1 \right) +2 \\
& = 2 - 4 - 5 +2 \\
& = -5
\end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$
Untuk menambah pemahaman kita terkait Definisi Suku Banyak (Polinomial) ini, mari kita simak beberapa soal latihan di bawah ini. Soal latihan kita pilih dari soal latihan pada Modul Definisi Suku Banyak (Polinomial) Matematika SMA Kurikulum 2013.
Soal dan pembahasan Suku Banyak (Polinomial) yang sudah pernah diujikan pada Ujian Nasional atau Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya silahkan di simak pada catatan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Sukubanyak (Polinomial) .
8. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Polinomial $6x^{5} + 2x^{3} – 3x^{7} + 2x^{6} – 3$ berderajat$\begin{align} (A)\ & 7 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & -3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari suku banyak $6x^{5} + 2x^{3} – 3x^{7} + 2x^{6} – 3$ pangkat tertinggi adalah $7$ sehingga derajat suku banyak adalah $7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7$
9. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Polinomial $\left( 2x^{2} - 3 \right) \left( x+2 \right)\left( 3x+1 \right)$ berderajat...$\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Dari bentuk $\left( 2x^{2} - 3 \right) \left( x+2 \right)\left( 3x+1 \right)$ derajat adalah pangkat tertinggi, sehingga pangkat tertingi dapat kita peroleh dari $\left(2x^{2} \right)\left(x \right)\left(3x \right)=6x^{4}$.
Derajat suku banyak adalah $4$.
Untuk jawaban yang lebih terperinci seperti berikut ini:
$\begin{align}
& \left( 2x^{2} - 3 \right) \left( x+2 \right)\left( 3x+1 \right) \\
& = \left( 2x^{2} \cdot x + 2x^{2} \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 \right) \left( 3x+1 \right) \\
& = \left( 2x^{3} + 4x^{2} - 3x - 6 \right) \left( 3x+1 \right) \\
& = 2x^{3} \cdot 3x + 2x^{3} \cdot 1 + 4x^{2} \cdot 3x + 4x^{2} \cdot 1 - 3x \cdot 3x - 3x \cdot 1 - 6 \cdot 3x - 6 \cdot 1 \\
& = 6x^{4} + 2x^{3} + 12x^{3} + 4x^{2} - 9x^{2} - 3x - 18x - 6 \\
& = 6x^{4} + 14x^{3} -5x^{2} - 21x - 6
\end{align}$
Derajat suku banyak adalah $4$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$
10. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Polinomial $\left( 2x^{2} - 3x^{6}+6x \right)\left( 3x^{3} + 2x^{2}+ 3 \right)$ berderajat...$\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika suku banyak dijabarkan ke bentuk umum maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( 2x^{2} - 3x^{6}+6x \right)\left( 3x^{3} + 2x^{2}+ 3 \right) \\
& = 2x^{2} \cdot 3x^{3} + 2x^{2} \cdot 2x^{2} + 2x^{2} \cdot 3 - 3x^{6} \cdot 3x^{3} - 3x^{6} \cdot 3x^{2} - 3x^{6} \cdot 3 + \cdots \\
& = 6x^{5} + 4x^{4} + 6x^{2} - 9x^{9} - 6x^{8} - 9x^{6} + 18x^{4}+12x^{3}+18x \\
& = - 9x^{9} - 6x^{8} - 9x^{6} + 6x^{5} + 22x^{4} + 12x^{3}+6x^{2}+18x
\end{align}$
Derajat suku banyak adalah $9$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 9$
11. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Koefisien suku ketiga dari uraian bentuk $\left( 3x-2 \right)\left( x^{2} -6x+4 \right)$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & -12 \\ (E)\ & -18 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika suku banyak dijabarkan ke bentuk umum maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \left( 3x-2 \right)\left( x^{2} -6x+4 \right) \\
& = 3x \cdot x^{2} + 3x \cdot -6x + 3x \cdot 4 - 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot -6x - 2 \cdot 4 \\
& = 3x^{3} - 18x^{2} + 12x - 2x^{2} + 12x - 8 \\
& = 3x^{3} - 20x^{2} + 24x - 8 \\
\end{align}$
Koefisien suku ketiga adalah $24$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 24$
12. Soal Latihan Definisi Suku Banyak (Polinomial)
Koefisien suku ketiga dari uraian bentuk $3 \left( x-3 \right)^{2}-\left( 4x^{2} -3x^{3}+2x \right)$ adalah...$\begin{align} (A)\ & -24 \\ (B)\ & -20 \\ (C)\ & -10 \\ (D)\ & -6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Jika suku banyak dijabarkan ke bentuk umum maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& 3 \left( x-3 \right)^{2}-\left( 4x^{2} -3x^{3}+2x \right) \\
& = 3 \left( x^{2}-6x+9 \right) - 4x^{2} +3x^{3}-2x \\
& = 3x^{2}-18x+27 - 4x^{2} +3x^{3}-2x \\
& = 3x^{3} - x^{2} - 20x + 27
\end{align}$
Koefisien suku ketiga adalah $-20$.
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -20$
13. Soal Latihan Definisi Polinomial
Diketahui polinomial $F(x)=2x^{2} + 3x -2$. Nilai polinomial untuk $x = 2$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 8 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} F \left( x \right) & = 2x^{2} + 3x -2 \\ F\left( 2 \right) & = 2\left( 2 \right)^{2} + 3\left( 2 \right) -2 \\ & = 2\left( 4 \right) + 6 -2 \\ & = 8+6-2=12 \end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$
14. Soal Latihan Definisi Polinomial
Jika $F(x)=x^{3} – 2x^{2} + 3x -5$ maka nilai dari $F(-2)=\cdots$$\begin{align} (A)\ & 20 \\ (B)\ & 18 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & -15 \\ (E)\ & -27 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} F\left( x \right) & = x^{3} – 2x^{2} + 3x -5 \\ F\left( -2 \right) & = \left( -2 \right)^{3} – 2\left( -2 \right)^{2} + 3\left( -2 \right) -5 \\ & = -8 – 8 -6 -5 \\ & = -27 \end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -27$
15. Soal Latihan Definisi Polinomial
Nilai polinomial $x^{4} – 3x^{2} + 4x + 3$ untuk $x = 3$ sama dengan...$\begin{align} (A)\ & 69 \\ (B)\ & 55 \\ (C)\ & 50 \\ (D)\ & 36 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal polinomial $P(x) = x^{4} – 3x^{2} + 4x + 3$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = 3$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = x^{4} – 3x^{2} + 4x + 3 \\
P\left( 3 \right) & = \left( 3 \right)^{4} – 3\left( 3 \right)^{2} + 4\left( 3 \right) + 3 \\
& = 81 – 27 + 12 + 3 \\
& = 69
\end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 69$
16. Soal Latihan Definisi Polinomial
Diketahui $28x^{4} + 57x^{3} + 22x^{2} + 38x + 7$. Nilai polinomial untuk $x = -2$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 212 \\ (B)\ & 168 \\ (C)\ & 121 \\ (D)\ & 92 \\ (E)\ & 11 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
Misal polinomial $P(x) = 28x^{4} + 57x^{3} + 22x^{2} + 38x + 7$ akan ditentukan nilai polinomial untuk $x = -2$, yaitu:
$\begin{align}
P\left( x \right) & = 28x^{4} + 57x^{3} + 22x^{2} + 38x + 7 \\
P\left( -2 \right) & = 28\left( -2 \right)^{4} + 57\left( -2 \right)^{3} + 22\left( -2 \right)^{2} + 38\left( -2 \right) + 7 \\
& = 28\left( 16 \right) + 57\left( -8 \right) + 22\left( 4 \right) - 76 + 7 \\
& = 448 -456 + 88 - 69 \\
& = 11
\end{align}$
Dengan menggunakan skema Horner perhitungan menjadi seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 11$
17. Soal Latihan Definisi Polinomial
Diketahui $f\left( x,y \right)=3x^{3}y^{2} + 2x^{4}y+5x-3y^{3}$. Maka nilai $f \left( -2,1 \right)$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -10 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} f\left( x,y \right) & = 3x^{3}y^{2} + 2x^{4}y+5x-3y^{3} \\ f\left( -2,1 \right) & = 3\left( -2 \right)^{3}\left( 1 \right)^{2} + 2\left( -2 \right)^{4}\left( 1 \right)+5\left( -2 \right)-3\left( 1 \right)^{3} \\ & = 3\left( -8 \right) \left( 1 \right) + 2\left( 16 \right) \left( 1 \right)-10-3\left( 1 \right) \\ & = -24 + 32-13 \\ & = 8-13 =-5 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -5$
Posting Komentar