Operasi Aljabar Pada Suku Banyak (Polinomial)
Operasi Aljabar Pada Suku Banyak (Polinomial)
Operasi aljabar pada Suku Banyak (Polinomial) terdiri atas penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Untuk operasi aljabar pembagian polinomial terdapat beberapa teori baru sehingga pembagian akan kita diskusikan pada cataan tersendiri.
Operasi penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan cara menjumlah/mengurang koefisien suku-suku yang mempunyai variabel dengan pangkat yang sama. Sederhananya seperti kita melakukan penjumlahan aatu pengurangan aljabar, dimana yang dapat dijumlahkan/dikurangkan adalah yang sama/sejenis.
Sedangkan operasi perkalian polinomial dilakukan dengan cara mengalikan semua suku-suku secara bergantian. Prinsipnya juga sama seperti perkalian aljabar biasa, dan dengan memperhatikan sifat-sifat aljabar yang dapat diterapkan dalam perkalian suku banyak.
Untuk tambahan penjelasan, kita lihat beberapa contoh soal berikut ini:
1. Soal Latihan Operasi Aljabar Polinomial
Diketahui fungsi polinomial $f(x) = 2x – 4$ dan $g(x) = 3x^{2} + 5x – 6$, Tentukanlah hasil dari:
- $f(x)+g(x)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & f(x)+g(x) \\ & =2x – 4 + 3x^{2} + 5x – 6 \\ & = 3x^{2} + 2x+5x -4-6 \\ & = 3x^{2} + 7x -10 \end{align}$
- $f(x)-g(x)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & f(x)-g(x) \\ & =2x – 4 - \left( 3x^{2} + 5x – 6 \right) \\ & =2x – 4 - 3x^{2} - 5x + 6 \\ & = -3x^{2} - 3x - 2 \end{align}$
- $g(x)-f(x)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & g(x)-f(x) \\ & =3x^{2} + 5x – 6 - \left( 2x – 4 \right) \\ & =3x^{2} + 5x – 6 - 2x +4 \\ & =3x^{2} + 3x - 2 \end{align}$
- $f^{2}(x)+g(x)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & f^{2}(x)+g(x) \\ & =\left( 2x – 4 \right)^{2} + 3x^{2} + 5x – 6 \\ & =4x^{2}-16x+16 + 3x^{2} + 5x – 6 \\ & =4x^{2}+3x^{2} -16x+5x+16-6 \\ & =7x^{2} - 11x +10 \end{align}$
- $f(x) \times g(x)$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & f(x) \times g(x) \\ & = \left( 2x – 4 \right) \left( 3x^{2} + 5x – 6 \right) \\ & = 6x^{3} + 10x^{2} - 12x - 12x^{2} -20x + 24 \\ & = 6x^{3} - 2x^{2} - 32x + 24 \end{align}$
2. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Tentukanlah bentuk sederhana dari $\left(3x – 2 \right) \left(2x + 5 \right)^{2}$$\begin{align} (A)\ & 12x^{3} + 68x^{2} + 35x - 50 \\ (B)\ & 12x^{3} + 52x^{2} + 115x - 50 \\ (C)\ & 12x^{3} + 52x^{2} + 35x + 50 \\ (D)\ & 12x^{3} + 52x^{2} + 35x - 50 \\ (E)\ & 12x^{3} + 68x^{2} + 115x + 50 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left(3x – 2 \right) \left(2x + 5 \right)^{2} \\ & = \left(3x – 2 \right) \left(4x^{2} + 20x + 25 \right) \\ & =3x \cdot 4x^{2} + 3x \cdot 20x + 3x \cdot 25 - 2 \cdot 4x^{2} -2 \cdot 20x - 2 \cdot 25 \\ & =12x^{3} + 60x^{2} + 75x - 8x^{2} - 40x - 50 \\ & =12x^{3} + 52x^{2} + 35x - 50 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 12x^{3} + 52x^{2} + 35x - 50$
3. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Tentukanlah bentuk sederhana dari $\left( x-3 \right)^{2} \left( x+ 1 \right)-\left( x-3 \right) \left( x^{2}-3x+2 \right)$$\begin{align} (A)\ & x^{2} - 8x - 15 \\ (B)\ & x^{2} + 8x - 15 \\ (C)\ & x^{2} - 8x + 15 \\ (D)\ & x^{2} - 2x + 15 \\ (E)\ & x^{2} - 2x - 15 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( x-3 \right)^{2} \left( x+ 1 \right)-\left( x-3 \right) \left( x^{2}-3x+2 \right) \\ & = \left( x-3 \right) \left[ \left( x-3 \right)\left( x+ 1 \right)- \left( x^{2}-3x+2 \right) \right] \\ & = \left( x-3 \right) \left[ x^{2}+x-3x-3 - x^{2}+3x-2 \right] \\ & = \left( x-3 \right) \left[ x-5 \right] \\ & = x^{2} - 5x - 3x + 15 \\ & = x^{2} - 8x + 15 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2} - 8x + 15$
4. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Jika $\dfrac{10x+4}{x^{2}-x-2} = \dfrac{a}{x-2} + \dfrac{b}{x+1}$ maka nilai $a-b$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \dfrac{10x+4}{x^{2}-x-2} &= \dfrac{a}{x-2} + \dfrac{b}{x+1} \\ \dfrac{10x+4}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} &= \dfrac{a\left( x+1 \right)+b\left( x-2 \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\ \dfrac{10x+4}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} &= \dfrac{ax+a +bx-2b}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\ \dfrac{10x+4}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} &= \dfrac{ax +bx+a-2b}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} \\ \dfrac{10x+4}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} &= \dfrac{\left(a+b \right)x+\left( a-2b \right)}{\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)} \end{align}$
dari kesamaan dua suku banyak di atas dapat kita peroleh: $\begin{align} a+b &= 10 \\ a-2b &= 4\ \ (-) \\ \hline 3b &= 6 \\ b &= 2 \longrightarrow a=8 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$
5. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Uraian dari bentuk $\left(3x – 4\right)^{2} – \left(4x + 2\right)^{2}$ adalah...$\begin{align} (A)\ & -7x^{2} + 21x +3 \\ (B)\ & -7x^{2} -40x + 12 \\ (C)\ & 5x^{2} - 21x + 3 \\ (D)\ & 5x^{2} - 40x -3 \\ (E)\ & 21x^{2} +3x - 4 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left(3x – 4\right)^{2} – \left(4x + 2\right)^{2} \\ & = \left(9x^{2} – 24x + 16 \right) – \left(16x^{2} + 16x +4 \right) \\ & = 9x^{2} – 24x + 16 – 16x^{2} - 16x - 4 \\ & = -7x^{2} - 40x+12 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -7x^{2} - 40x+12$
6. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Uraian dari $\left( x^{2}-3 \right) \left(2x + 4\right) \left(2x - 5\right) $ adalah...$\begin{align} (A)\ & 4x^{4} - 2x^{3} - 32x^{2} + 6x + 60 \\ (B)\ & 4x^{4} - 2x^{3} + 32x^{2} + 6x - 60 \\ (C)\ & 4x^{4} - 2x^{3} - 32x^{2} + 6x + 60 \\ (D)\ & 4x^{4} + 2x^{3} - 32x^{2} + 6x + 60 \\ (E)\ & 4x^{4} - 2x^{3} - 32x^{2} - 6x - 60 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( x^{2}-3 \right) \left(2x + 4\right) \left(2x - 5\right) \\ & = \left( x^{2}-3 \right) \left(4x^{2} -10x +8x -20 \right) \\ & = \left( x^{2}-3 \right) \left(4x^{2} -2x -20 \right) \\ & = 4x^{4} - 2x^{3} - 20x^{2} - 12x^{2} + 6x + 60 \\ & = 4x^{4} - 2x^{3} - 32x^{2} + 6x + 60 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4x^{4} - 2x^{3} - 32x^{2} + 6x + 60$
7. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Uraian dari bentuk $\left( 2x-3 \right)^{2} \left(3x + 2\right)$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 4x^{3} - 3x^{2} +28x -3 \\ (B)\ & 12x^{3} + 24x^{2} - 32x -16 \\ (C)\ & 12x^{3} - 28x^{2} + 3x + 18 \\ (D)\ & 24x^{3} - 8x^{2} + 9x + 10 \\ (E)\ & 24x^{3} + 24x^{2} - 18x +5 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( 2x-3 \right)^{2} \left(3x + 2\right) \\ & = \left( 4x^{2}-12x+9 \right) \left(3x + 2\right) \\ & = 12x^{3}+8x^{2}-36x^{2}-24x+27x+18 \\ & = 12x^{3} -28x^{2}+3x+18 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 12x^{3} -28x^{2}+3x+18$
8. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Uraian dari bentuk $\left( x^{2}+x-2 \right) \left( 2x^{2}-x+3 \right)$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 2x^{2} + x^{3} - 2x^{4}+3x - 5 \\ (B)\ & 2x^{4} + x^{3} - 2x^{2}+5x - 6 \\ (C)\ & 2x^{4} - 3x^{3} + 4x^{2} -x-2 \\ (D)\ & x^{4} - 3x^{3} + x^{2} -5x+6 \\ (E)\ & 2x^{4} + 5x^{3} - x^{2} -3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( x^{2}+x-2 \right) \left( 2x^{2}-x+3 \right) \\ & = 2x^{4} -x^{3} +3x^{2}+2x^{3}-x^{2}+3x-4x^{2}+2x-6 \\ & = 2x^{4} -x^{3}+2x^{3} +3x^{2} -x^{2} -4x^{2}+3x+2x-6 \\ & = 2x^{4}+x^{3}-2x^{2} +5x-6 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2x^{4} + x^{3} - 2x^{2}+5x - 6$
9. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
$\left( x+2 \right)^{2} \left( 2x+3 \right) - \left( x+2 \right)^{2} \left( 7x-2 \right) $ sama nilainya dengan...$\begin{align} (A)\ & -5x^{3} - 3x^{2} +2x-6 \\ (B)\ & -5x^{3} +x^{2} -6x +5 \\ (C)\ & -4x^{2} +16x + 16 \\ (D)\ & 5x^{2} + 8x + 8 \\ (E)\ & -5x^{3} -15x^{2} + 20 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} & \left( x+2 \right)^{2} \left( 2x+3 \right) - \left( x+2 \right)^{2} \left( 7x-2 \right) \\ & = \left( x+2 \right)^{2} \left[ \left( 2x+3 \right) - \left( 7x-2 \right) \right] \\ & = \left( x^{2}+4x+4 \right) \left[ 2x+3 - 7x+2 \right] \\ & = \left( x^{2}+4x+4 \right) \left[ -5x+5 \right] \\ & = -5x^{3}+5x^{2}-20x^{2}+20x-20x+20 \\ & = -5x^{3}-15x^{2} +20 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5x^{3} -15x^{2} + 20$
10. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
Dari kesamaan $\dfrac{a}{x-3} + \dfrac{b}{x+3}=\dfrac{5x+3}{x^{2}-9}$ nilai $a$ dan $b$ berturut-turut adalah...$\begin{align} (A)\ & 7\ \text{dan}\ 2 \\ (B)\ & 2\ \text{dan}\ -7 \\ (C)\ & -2\ \text{dan}\ 7 \\ (D)\ & -2\ \text{dan}\ -7 \\ (E)\ & 3\ \text{dan}\ 2 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \dfrac{a}{x-3} + \dfrac{b}{x+3} &= \dfrac{5x+3}{x^{2}-9} \\ \dfrac{a \left(x+3 \right)+b\left(x-3 \right) }{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} &= \dfrac{5x+3}{\left(x-3 \right)\left(x+3 \right)} \\ \dfrac{ax+3a +bx-3b }{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} &= \dfrac{5x+3}{\left(x-3 \right)\left(x+3 \right)} \\ \dfrac{ax+bx+3a -3b }{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} &= \dfrac{5x+3}{\left(x-3 \right)\left(x+3 \right)} \\ \dfrac{ \left(a +b \right)x+ 3a -3b }{\left(x+3 \right)\left(x-3 \right)} &= \dfrac{5x+3}{\left(x-3 \right)\left(x+3 \right)} \end{align}$
dari kesamaan dua suku banyak di atas dapat kita peroleh: $\begin{align} a+b &= 5 \\ 3a-3b &= 3 \\ \hline a+b &= 5 \\ a- b &= 1\ \ (-) \\ \hline 2b &= 4 \\ b &= 2 \longrightarrow a=3 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3\ \text{dan}\ 2$
11. Soal Latihan Operasi Aljabar Suku Banyak (polinomial)
$\dfrac{-18x-1}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)}= \dfrac{p}{2x-3}+\dfrac{q}{3x-1}$ berlaku untuk setiap $x \in R$, $x \neq \frac{3}{2}$, $x \neq \frac{1}{3}$. Nilai $p$ dan $q$ adalah...$\begin{align} (A)\ & 3\ \text{dan}\ 8 \\ (B)\ & -3\ \text{dan}\ 8 \\ (C)\ & 3\ \text{dan}\ -8 \\ (D)\ & -3\ \text{dan}\ -8 \\ (E)\ & -8\ \text{dan}\ 3 \end{align}$
Alternatif Pembahasan:
$\begin{align} \dfrac{-18x-1}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} &= \dfrac{p}{2x-3}+\dfrac{q}{3x-1} \\ \dfrac{-18x-1}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} &= \dfrac{p\left( 3x-1 \right)+q\left(2x-3 \right)}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} \\ \dfrac{-18x-1}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} &= \dfrac{3px-p +2qx-3q}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} \\ \dfrac{-18x-1}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} &= \dfrac{(3p+2q)x-(p+3q)}{\left(2x-3 \right)\left( 3x-1 \right)} \\ \end{align}$
dari kesamaan dua suku banyak di atas dapat kita peroleh: $\begin{align} 3p+2q &= -18 \\ p+3q &= 1 \\ \hline 3p+2q &= -18 \\ 3p+9q &= 3\ \, \, (-) \\ \hline -7q &= -21 \\ q &= 3 \longrightarrow p=-8 \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 3\ \text{dan}\ -8$
Posting Komentar