Soal dan Pembahasan Matematika SMA Suku Banyak (Polinomial)

Karena suku banyak $f(x)=x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $–x+B$

Sehingga untuk $x^{2}=1$ berlaku:
$\begin{align}
f \left( x^{2} \right) & \equiv -x+B \\ 1 -Ax +Bx -1 & \equiv -x+B \\ \left(-A +B \right) x & \equiv -x+B \\ \hline
B & = 0 \\ -A+B & = -1 \\ A & = 1 \\ \hline
2A+B & = 2(1)+0=2
\end{align}$

Apabila kurang paham kita coba dengan cara lain,
Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba mengingatkan kembali tentang teorema sisa, yaitu:
Untuk
$F(x)=H(x)\cdot P(x)+Sisa$
$F(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$F(a)=am+n$
$F(b)=bm+n$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1$ dibagi oleh $x^{2}-1$ sisanya $-x+B$.
$\begin{align}
& x^{2014}-Ax^{2015}+Bx^{3}-1 \\ & = \left (x^{2}-1 \right )\cdot H(x)+sisa \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B \\ & = \left (x-1 \right )\left (x+1 \right )\cdot H(x)-x+B
\end{align}$

Untuk $x=1$
$\begin{align}
1^{2014}-A(1)^{2015}+B(1)^{3}-1 & = -1+B \\ 1-A+B-1 & = -1+B \\ -A+B & = -1+B \\ A & = 1
\end{align}$

Untuk $x=-1$
$\begin{align}
(-1)^{2014}-A(-1)^{2015}+B(-1)^{3}-1 & = -(-1)+B \\ -1+A-B-1 & = 1+B \\ A-B & = 1+B \\ 1-B & = 1+B \\ B & = 0
\end{align}$

Nilai $2A+B=2(1)+0=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 2$

Untuk menyelesaikan soal diatas, kita coba menggunakan teorema sisa, yaitu:
Untuk
$f(x)=h(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$
maka
$f(a)=am+n\ \cdots \text{pers.1}$
$f(b)=bm+n\ \cdots \text{pers.2}$
Dari kedua persamaan di atas dapat kita tentukan nilai $m$ dan $n$ yaitu sebagai berikut:

#menentukan nilai $m$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \\ f(b) = bm+n & (-)\\ \hline
f(a) -f(b) = am-bm & \\ f(a) -f(b) = (a -b)m & \\ \dfrac{f(a) -f(b)}{a-b} = m
\end{array} $

#menentukan nilai $n$
$\begin{array}{c|c|cc}
f(a) = am+n & \times b\\ f(b) = bm+n & \times a\\ \hline
b \cdot f(a) = abm+bn & \\ a \cdot f(b) = abm+an & (-) \\ \hline
b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = bn-an &\\ b \cdot f(a)-a \cdot f(b) = (b -a ) n &\\ \dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} = n
\end{array} $

Sisa Pembagian adalah $mx+n$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
mx+n &= \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{b \cdot f(a)-a \cdot f(b)}{b-a} \\ & =\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}x+\dfrac{a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)-b \cdot f(a)}{a-b} \\ & =\dfrac{x \cdot f(a)-b \cdot f(a)-x \cdot f(b)+a \cdot f(b)}{a-b} \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{a-x}{a-b}f(b) \\ & =\dfrac{x-b}{a-b}f(a)+\dfrac{x-a}{b-a}f(b) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$

$P(x)=H(x)\cdot (x-a)(x-b)+mx+n$

Untuk $x=0$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
maka $P(0)=n$

Untuk $x=2$
$P(x)=H(x)\cdot x(x-2)+mx+n$
$P(2)=2m+n$

Pada soal diketahui $P(x+1)=2$ dan $P(x-1)=2$ maka untuk $x=1$ diperoleh $P(2)=2$ dan $P(0)=2$.

$P(0)=2$ dan $P(0)=n$ maka $n=2$
$P(2)=2$ dan $P(2)=2m+n$ maka $2m+n=2$ sehingga $m=0$.

Sisa pembagian adalah $mx+n$ yaitu $0x+2=2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 2$

Dari keterangan pada soal kita peroleh;
$f(x)-2g(x)=(x^{2}+x-2)H(x)+x+3$
$f(x)-2g(x)=(x+2)(x-1)H(x)+x+3$

$2f(x)+g(x)=(x^{2}-3x+2)H(x)+x+1$
$2f(x)+g(x)=(x-2)(x-1)H(x)+x+1$

Untuk $x=1$ atau $x=2$, kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
f(1)-2g(1) = 4 & \times 1\\ 2f(1)+g(1) = 2 & \times 2\\ \hline
f(1)-2g(1) = 4 & \\ 4f(1)+2g(1) = 4 & (+)\\ \hline
5f(1) = 8 &\\ f(1) = \dfrac{8}{5} & \\ g(1) = -\dfrac{6}{5}
\end{array} $

Nilai $f(1)g(1)=\dfrac{8}{5}\dfrac{-6}{5}=-\dfrac{48}{25}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{48}{25}$

Dari soal kita peroleh beberapa data, antara lain;
Jika $P(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $11$ maka $P(1)=11$
Jika $P(x)$ dibagi $(x+1)$ sisa $-1$ maka $P(-1)=-1$

Karena $P(1)=11$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(1)=2+a-3+5+b$
$11=a+b+4$
$a+b=7 \cdots (1)$

Karena $P(-1)=-1$ maka
$P(x)=2x^{4}+ax^{3}-3x^{2}+5x+b$
$P(-1)=2-a-3-5+b$
$-1=-a+b-64$
$-a+b=5 \cdots (2)$

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 7 & \\ -a+b = 5 & (+)\\ \hline
2b = 12 & \\ b = 6 & \\ a = 1 &
\end{array} $

Nilai $2a+b=2+6=8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 8$

Dari apa yang disampaikan pada soal, ada beberapa hal yang dapat kita simpulkan yaitu;
$f(-1)=10$ dan $f(\dfrac{3}{2})=5$

Dari bentuk suku banyak;
$f(x)=h(x)\cdot p(x)+sisa$
$f(x)=h(x)\cdot 2x^{2}-x-3+mx+n$
$f(x)=h(x)\cdot (x+1)(2x-3)+mx+n$

$f(-1)=-m+n$ maka $-m+n=10$ $\cdots (1)$
$f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{3}{2}m+n$ maka $\dfrac{3}{2}m+n=5$ $\cdots (2)$

Dengan mengeliminasi atau substitusi pers. $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh nilai $m=-2$ atau $n=8$

$mx+n \equiv -2x+8$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -2x+8$

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x-1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x-1)+ax+b$
ketika $f(x)$ dibagi $(x-1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-3)(x-1)+2bx+a-1$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$f(-2)=7$ maka $-2a+b=7$
$ \begin{align}
f(1) & = f(1) \\ a+b & = 2b+a-1 \\ b & = 1 \\ -2a+b & = 7 \\ -2a+1 & = 7 \\ -2a & = 6 \\ a & = -3 \\ a^{2}+b^{2} & = (-3)^{2}+(1)^{2} \\ & = 10
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+sisa$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+2)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+2)(x+1)+3bx+a-2$
ketika $f(x)$ dibagi $(x+1)(x-3)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x+1)(x-3)+ax-2b$

Dari persamaan di atas kita peroleh:
$ \begin{align}
f(3)+f(-2) & = 6 \\ 3a-2b-6b+a-2 & = 6 \\ 4a-8b & = 8 \\ a-2b & = 2 \cdots (1)\\ f(-1) & = f(-1) \\ -3b+a-2 & = -a-2b \\ -b+2a & = 2 \cdots (2)\\ \end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a-2b = 2 & \\ -b+2a = 2 & (-)\\ \hline
-a-b = 0 & \\ a+b = 0
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 0$

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar dan bilangan berpangkat, seperti berikut ini;
$\begin{align}
9^{x^{3}-4x^{2}-x+4}-9^{x^{2}+x-6} &= 0 \\ 9^{x^{3}-4x^{2}-x+4} &= 9^{x^{2}+x-6} \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 &= x^{2}+x-6 \\ x^{3}-4x^{2}-x+4 -x^{2}-x+6 &= 0 \\ x^{3}-5x^{2}-2x+10 &= 0
\end{align}$
Untuk hasil kali semua nilai $x$ adalah:
$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} &= -\dfrac{d}{a} \\ &= -\dfrac{10}{1} \\ &= -10
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -10 $

Jika Pembagian suku banyak di atas kita coba selesaikan dengan pembagian bersusun kebawah;

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 3x+1\ \text{dan}\ -8x+4$

Catatan calon guru tentang Pembagian suku banyak yang mungkin membantu yaitu;

Teorema Sisa

• Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(x-a)$, sisanya adalah $s=f(a)$.
• Jika suatu fungsi suku banyak $f(x)$ dibagi oleh faktor linear berbentuk $(ax-b)$, sisanya adalah $s=f \left(\dfrac{b}{a} \right)$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ 1$

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+x^{2}+bx+1$ habis dibagi oleh $x^{2}+1$ dan $x+a$.
$\begin{align}
& ax^{3}+x^{2}+bx+1 \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+1 \right) \left( x+a \right) \\
0 & \equiv k \cdot \left( x^{3}+ax^{2}+ x + a \right) \\
0 & \equiv kx^{3}+ akx^{2}+ kx +ak
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $ak=1$, maka $a^{2}=1$ atau $a= \pm 1$
• dari koefisien $x $ kita peroleh $ b=k$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}-ax^{2}+bx-a$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}-ax^{2}+bx-a \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+ mx+ n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $b=m$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+ax^{2}+2x+b$ dibagi $x^{2}+2$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+ax^{2}+2x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+2 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+2mx+2n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $m=1$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $a=n$
• dari konstanta kita peroleh $ b=2n$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$

Jika sebuah bilangan $a$ habis dibagi $x$ dan $y$, maka berlaku $a \equiv k \cdot x \cdot y$
contoh:
$140$ habis dibagi $5$ dan $2$
sehingga berlaku $140 \equiv k \cdot 5 \cdot 2$, dan nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=14$

suku banyak $P(x)= ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a$ habis dibagi oleh $x^{2}+2$ dan $x+b$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
& ax^{3}+bx^{2}+(a-2b)x-a \\
& \equiv k \cdot \left( x^{2}+2 \right) \left( x+b \right) \\
& \equiv k \cdot \left( x^{3}+bx^{2}+2x +2b \right) \\
& \equiv kx^{3}+ kbx^{2}+2kx +2bk
\end{align}$
Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $kb=b$, maka $k=1$
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=k$, maka $a=1$
• dari konstanta kita peroleh $2bk=-a$, maka $2b=-1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $P(x)= x^{3}+bx^{2}-2x-6$ dibagi $\left(x-2 \right)^{2}=x^{2}-4x+4$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& x^{3}+bx^{2}-2x-6 \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}-4x+4 \right) -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}-4mx^{2}-4nx+4mx+4n -2x+a \\ & \equiv mx^{3}+ \left(n -4m \right) x^{2}+ \left(4m-4n-2 \right)x+4n+a \\ \end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $1=m$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $4m-4n-2=-2$, maka $n=1$
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $b=n-4m $, maka $b=-3$
• dari konstanta kita peroleh $-6=4n+a$, maka $a=-10$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -13$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+(a+b)x^{2}-bx+a+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari konstanta kita peroleh $n=a+b $
• dari koefisien $x$ kita peroleh $-b=m $
• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=a+b $
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$F(x) \equiv H(x) \cdot P(x) + S(x) $

Jika suku banyak $f(x)= ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b$ dibagi $x^{2}+1$ maka hasil bagi suku banyak adalah berderajat satu, kita misalkan $\left( mx+n \right)$.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sehingga:
$\begin{align}
& ax^{3}+3x^{2}+(b-2)x+b \\ & \equiv \left( mx+n \right) \left( x^{2}+1 \right) + 0 \\ & \equiv mx^{3}+nx^{2}+mx+n
\end{align}$

Berdasarkan kesamaan suku banyak, sehingga:

• dari koefisien $x^{2}$ kita peroleh $n=3 $
• dari konstanta kita peroleh $n=b $ maka $b=3$
• dari koefisien $x$ kita peroleh $b-2=m $ maka $m=1$
• dari koefisien $x^{3}$ kita peroleh $a=m $ maka $a=1$
• Nilai $a+b=4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 4$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 25$

Soal ini kita coba selesaikan dengan Cara Manipulasi Faktor, dengan manipulasi faktor ini, kita anggap faktornya adalah sama dengan nol.

Dengan menganggap faktor (pembagi) $x^{2}+1=0$ sehingga diperoleh $x^{2}=-1$.

Dengan $x^{2}=-1$ dan $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+2x-3$ habis dibagi $x^{2}+1$ maka berlaku:
$\begin{align}
p(x) & \equiv ax^{3}+bx^{2}+2x-3 \\
p(x) & \equiv ax \cdot x^{2}+bx^{2}+2x-3 \\
0 & \equiv ax (-1) +b (-1) +2x-3 \\
0 & \equiv -ax -b +2x-3 \\
0 & \equiv (2-a)x -b-3 \\
\hline
2-a\ & = 0 \\
a & = 2 \\ \hline
-b-3\ & = 0 \\ b\ & = -3 \\ \hline
\text{nilai}\ 3a-b &= 3(2)-(-3) =9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 9$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 0$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Faktor suku banyak $f(x)$ adalah $(x-a)$ maka $f(a)=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+2x+3$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+(mx+n)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-2$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ -6$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 2$

Catatan calon guru tentang Polynomial yang mungkin kita butuhkan adalah:

• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$
• Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+mx+n $

Kita misalkan suku banyak $P(x)=Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} $.
Diketahui $P(x)$ dibagi $x^{2}-1$ bersisa $5x-4$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
P(x) &= H(x) \left( x^{2}-1 \right) + 5x-4 \\ P(x) &= H(x) \left( x-1 \right)\left( x+1 \right) + 5x-4 \\ \hline
P(1) &= H(1) \left( 1-1 \right)\left( 1+1 \right) + 5(1)-4 \\ P(1) &= 1 \\ \hline
P(-1) &= H(-1) \left( -1-1 \right)\left( -1+1 \right) + 5(-1)-4 \\ P(-1) &= -9 \\ \end{align} $

Untuk $x=1$ dan $x=-1$, kita peroleh:
$\begin{align}
P(x) &= Ax^{2014}+x^{2015}-B \left( x-2 \right)^{2} \\ P(1) &= A(1)^{2014}+(1)^{2015}-B \left( 1-2 \right)^{2} \\ 1 &= A+1 -B \\ 0 &= A -B \\ B &= A \\ \hline
P(-1) &= A(-1)^{2014}+(-1)^{2015}-B \left( -1-2 \right)^{2} \\ -9 &= A -1 -9B \\ -8 &= A -9B \\ -8 &= B -9B \\ -8 &= -8B \\ 1 &= B \\ A &= 1 \\ \end{align}$
Nilai $A+B=1+1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

Catatan calon guru tentang Suku Banyak (Polinomial) yang mungkin kita butuhkan adalah Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)$ maka $f(a)=sisa$.

$g(x)$ dibagi $(x-a)$ bersisa $1$, maka berlaku:
$ \begin{align}
g(a) & = 1 \\ (a)^{3}+2(a)^{2}+2(a)+2 & = 1 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+2-1 & = 0 \\ a^{3}+2a^{2}+2a+1 & = 0 \\ (a^{2}+a+1)(a+1) & = 0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & (a+1)=0 \\ (a^{2}+a+1)=0;\ & a = -1
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(x-a)$:
$ \begin{align}
f(a) & = a^{4}+a^{3}-2 \\ f(-1) & = (-1)^{4}+(-1)^{3}-2 \\ & = 1-1-2 \\ & = -2
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -2$

Jika pembagian suku banyak kita kerjakan dengan menggunakan metode horner-kino, maka skemanya seperti berkut ini:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

Pada soal disampaikan bahwa $f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan $f(x)$ dibagi $(x-2)$ sisanya $4$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $f(1)=3$, dan $f(2)=4$.

$f(x)$ dibagi dengan $x^{2}-3x+2$, sehingga berlaku
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-3x+2 \right) + mx+n \\ f(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)+ mx+n\\ \hline
f(1) & = m+n\\ 3 & = m+n\\ \hline
f(2) & = 2m+n\\ 4 & = 2m+n
\end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 3 & \\ 2m+n = 4 & \\ \hline
m = 1 & \\ n = 2 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=x+2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+2$

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-2006)$ sisanya $3$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(2006)=3$.

Yang ditanyakan adalah $p(x)$ dibagi $(x+2006)$ atau $p(-2006)$

$\begin{align}
p(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ p(2006) &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 3 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right)-1 \\ 4 &= a \left( 2006 \right)^{5}+b\left( 2006 \right) \\ \hline
p(-2006) &= a \left( -2006 \right)^{5}+b\left( -2006 \right)-1 \\ &= a \left( -1 \right)^{5}\left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &= -a \left( 2006 \right)^{5} -b\left( 2006 \right)-1 \\ &=- \left( a \left( 2006 \right)^{5} +b\left( 2006 \right) \right)-1 \\ &=- \left( 4 \right)-1 =-5\\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -5$

Pada soal disampaikan bahwa $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $2$ dan $p(x)$ dibagi $(x+1)$ sisanya $0$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $p(1)=2$, dan $p(-1)=0$.

$q(x)$ dibagi dengan $x^{2}-1$ bersisa $2x$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + 2x \\ q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + 2x \\ q(1) & = 2(1)=2 \\ q(-1) & = 2(-1)=-2
\end{align}$

Suku banyak $p(x)+q(x)$ dibagi $x^{2}-1$, sehingga berlaku
$\begin{align}
p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}-1 \right) + mx+n \\ p(x)+q(x) & \equiv H(x) \cdot \left( x+1 \right)\left( x -1 \right) + mx+n \\ \hline
p(1)+q(1) & = m (1)+n \\ 4 & = m+n \\ \hline
p(-1)+q(-1) & = m (-1)+n \\ -2 & = -m+n \\ \end{align}$

Dengan mengeliminasi atau substitusi kedua persamaan yang kita peroleh di atas, maka kita peroleh:
$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 4 & \\ -m+n = -2 & \\ \hline
2n = 2 & \\ n = 1 & \\ m = 3 &
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n=3x+1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3x+1$

Pada soal disampaikan bahwa $h(x)=x^{2}+3x-4$ salah satu faktor dari $g(x)=x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x^{2}+3x-4 \right) \\ x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b & \equiv H(x) \cdot \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) \\
\hline
(1)^{4}+2(1)^{3}-a(1)^{2}-14(1)+b & = 0 \\
1+2-a -14 +b & = 0 \\
-a +b & = 11 \\
\end{align}$

Sisa $g(x)$ dibagi $x+1$ adalah $g(-1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
g(x) & = x^{4}+2x^{3}-ax^{2}-14x+b \\ g(-1) & = (-1)^{4}+2(-1)^{3}-a(-1)^{2}-14(-1)+b \\ & = 1-2-a +14+b \\ & = -a +b+13 \\ & = 11+13=24
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 24$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{2}+nx+1$ salah satu faktor dari $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+a$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
ax^{3}+bx^{2}+a & \equiv \left( x^{2}+nx+1 \right) \cdot \left( cx+d \right) \\ & = cx^{3}+dx^{2}+cnx^{2}+dnx+cx+d \\ & = cx^{3}+ \left( d+cn \right) x^{2}+\left( dn+c \right)x+d
\end{align}$
Dari kesamaan suku banyak di atas dapat kita ambil kesimpulan yaitu: $a=c$, $b=d+cn$, $dn+c=0$, dan $d=a$.

Untuk menentukan nilai $n$ kita pilih dari persamaan yang kita peroleh, yaitu:
$\begin{align}
dn+c & = 0 \\ (a)n+(a) & = 0 \\ (a)n & = -a \\ n & = -1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1$

Pada soal disampaikan bahwa $x^{4}-2x^{2}+1$ dapat difaktorkan menjadi:
$\begin{align}
x^{4}-2x^{2}+1 & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \left(x^{2}-1 \right)\left(x^{2}-1 \right) & \equiv \left(x^{2}+ax+b \right)\left(x^{2}+cx+d \right) \\ \hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+ax+b \\ a=0,\ &\ b=-1 \\ \hline
x^{2}-1 & \equiv x^{2}+cx+d \\ c=0,\ &\ d=-1 \\ \end{align}$
Nilai $a+b+c+d=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -2$

Pada soal disampaikan bahwa $(x+2)$ adalah faktor $f(x)=2x^{3}-ax^{2}-11x+6$ sehingga berdasarkan teorema faktor Untuk suku banyak $F(x)$, $(x-a)$ adalah faktor suku banyak $F(x)$ jika dan hanya jika $F(a)=0$ nilai $f(-2)=0$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
f(-2) & =2x^{3}-ax^{2}-11x+6 \\ 0 & =2(-2)^{3}-a(-2)^{2}-11(-2)+6 \\ 0 & =-16-4a+22+6 \\ 0 & =12-4a \\ 3 & = a \\ f(x) &= 2x^{3}-3x^{2}-11x+6
\end{align}$

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6$ dibagi $(2x+3)$, kita kerjakan dengan koefisien tak tentu:
$\begin{align}
& 2x^{3}-3x^{2}-11x+6 \\ & \equiv \left( x^{2}+bx+c \right) \left( 2x+3 \right)+d\\ & \equiv 2x^{3}+3x^{2}+2bx^{2}+3bx+2cx+3c+d\\ & \equiv 2x^{3}+\left(3+2b \right)x^{2}+ \left(3b+2c \right)x+3c+d\\ \hline
& 3+2b=-3\ \rightarrow\ b=-3 \\ & 3b+2c=-11\ \rightarrow\ c=-1
\end{align}$

Untuk $b=-3$ dan $c=-1$, maka hasil bagi $\left( x^{2}+bx+c \right)$ adalah $x^{2}-3x-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x^{2}-3x-1$

Suku banyak $p(x)$ polinomial berderajat $3$ kita misalkan
$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Dari $p(1)=2$, $p(2)=3$, $p(3)=4$, dan $p(4)=6$ maka kita peroleh beberapa persamaan yaitu:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2\ \cdots\ (1) \\ 8a+4b+2c+d &= 3\ \cdots\ (2) \\ 27a+9b+3c+d &= 4\ \cdots\ (3) \\ 64a+16b+4c+d &= 6\ \cdots\ (4)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(1)$ dan $(2)$ kita peroleh:
$\begin{align}
a+b+c+d &= 2 \\ 8a+4b+2c+d &= 3 \\ \hline
7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(2)$ dan $(3)$ kita peroleh:
$\begin{align}
8a+4b+2c+d &= 3 \\ 27a+9b+3c+d &= 4 \\ \hline
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $d$ pada $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
27a+9b+3c+d &= 4 \\ 64a+16b+4c+d &= 6 \\ \hline
37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(6)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 7a+3b+c &= 1\ \cdots\ (5) \\ \hline
12a+2b &= 0\ \cdots\ (8)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $c$ pada $(5)$ dan $(7)$ kita peroleh:
$\begin{align}
19a+5b+c &= 1\ \cdots\ (6) \\ 37a+7b+c &= 2\ \cdots\ (7) \\ \hline
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9)
\end{align}$

Dengan mengeliminasi $b$ pada $ (8)$ dan $(9)$ kita peroleh:
$\begin{align}
18a+2b &= 1\ \cdots\ (9) \\ 12a+2b &= 0\ \cdots\ (8) \\ \hline
6a &= 1\ \rightarrow\ a=\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Untuk $a=\dfrac{1}{6}$ dan $12a+2b= 0$, kita peroleh $b=-1$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$ dan $b=-1$ kita substitusi ke $7a+3b+c= 1$ kita peroleh $c=\dfrac{17}{6}$.

Nilai $a=\dfrac{1}{6}$, $b=-1$, dan $C=\dfrac{17}{6}$ kita substitusi ke $a+b+c+d = 2$ kita peroleh $d=0$.

Sehingga kita peroleh kita peroleh $p(x)=\dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x$.

$\begin{align}
p(x) &= \dfrac{1}{6}x^{3}-x^{2}+\dfrac{17}{6}x \\ p(x+2) &= \dfrac{1}{6}(x+2)^{3}-(x+2)^{2}+\dfrac{17}{6}(x+2) \\ &= (x+2) \left( \dfrac{1}{6}(x+2)^{2}-(x+2) +\dfrac{17}{6} \right)
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ x+2$

Dari suku banyak $x^{3}-6x^{2}-ax+b=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh: $\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 6 \\ x_{1}+x_{2}+ 9 & = 6 \\ x_{1}+x_{2} & = -3 \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} \cdot 9 & = -b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = -\dfrac{b}{9} \end{align}$
$\begin{align} x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\ -\dfrac{b}{9} + 9x_{1} + 9x_{2} & = -a \\ -\dfrac{b}{9} + 9 \left( -3 \right) & = -a \\ -\dfrac{b}{9} -27 & = -a \\ \hline
b-a=5 & \\
\hline
-\dfrac{b}{9} -27 & = 5-b \\ -\dfrac{b}{9} +b & = 32 \\ \dfrac{8b}{9} & = 32 \\ \dfrac{ b}{9} & = 4 \end{align}$
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{1} \cdot x_{2} & = -3 -\dfrac{b}{9} \\ & = -3 - 4 \\ & = -7 \end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -7$

Dari suku banyak $x^{3}-12x^{2}+(p+4)x-(p+8)=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 12
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret aritmatika dengan beda $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + x_{1}+2 + x_{1}+4 \\ 12 & = 6+3x_{1} \\ 6 & = 3x_{1} \\ x_{1} & = 2 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 & = p+8 \\ 48 & = p+8 \\ 40 & = p \\ \hline
p-36 & = 40-36 = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4$

Dari suku banyak $x^{3}+2x^{2}+px-6=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -2
\end{align}$

Lalu dikatakan salah satu akar suku banyak adalah $2$, maka berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + 2 & = -2 \\ x_{1} + x_{2} & = -4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -4$

Dari suku banyak $x^{3}-7x^{2}+px+q=0$ dan teorema akar-akar vieta kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}& = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}& = 7
\end{align}$

Lalu dikatakan akar-akar persamaan suku banyak membentuk deret geometri dengan rasio $2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = x_{1} + 2x_{1} + 4x_{1} \\ 7 & = 7x_{1} \\ x_{1} & = 1 \rightarrow x_{2}=2,\ x_{3}=4
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 1 \cdot 2 \cdot 4 & = -q \\ 8 & = -q \\ q & = -8
\end{align}$

$\begin{align}
x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} \cdot x_{3} + x_{2} \cdot x_{3} & = -\dfrac{d}{a} \\ 2 + 4 + 8 & = \dfrac{c}{a} \\ 14 & = p \\ \hline
p+q & = 14-8=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 6$

Dikatakan salah satu akar suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ adalah $0$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ (0)^{3}+a(0)^{2}+b(0)+c & = 0 \\ c & = 0 \\ \hline
a + b + c & = -4 \\ a + b & = -4
\end{align}$

Dari teorema akar-akar vieta dan dikatakan dua akar lainnya saling berlawanan tanda, sehingga berlaku:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\ x_{1} + x_{2} + 0 & = -a \\ x_{1} + \left( -x_{1} \right) & = -a \\ 0 & = a \\ \hline
a+b & = -4 \\ b & = -4
\end{align}$

$\begin{align}
x^{3}+ax^{2}+bx+c & = 0 \\ x^{3}-4x & = 0 \\ x \left( x^{2}-4 \right) & = 0 \\ x \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) & = 0 \\ \hline
x=0;\ x=-2,\ x=2
\end{align}$
Akar terbesar yang mungkin adalah $2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 2$

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(x+1)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n$

$f(x)$ habis dibagi oleh $(x-1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 0 \\ f(1) & = H(1) \cdot (1-1)(1+1)+m(1)+n \\ 0 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x+1)$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(x) & = H(x) \cdot (x-1)(x+1)+mx+n \\ f(-1) & = H(-1) \cdot (-1-1)(-1+1)+m(-1)+n \\ f(-1) & = -m+n \\ f(-1) & = n+n \\ f(-1) & = 2n \\ n & = \dfrac{1}{2}f(-1) \\ m & = -\dfrac{1}{2}f(-1)
\end{align} $

Untuk $n=\dfrac{1}{2}f(-1)$ dan $m=-\dfrac{1}{2}f(-1)$ maka sisa pembagian $mx+n$ adalah:
$ \begin{align}
mx+n & = -\dfrac{1}{2}f(-1) \cdot x+\dfrac{1}{2}f(-1) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(-x+1 \right) \\ & = \dfrac{1}{2}f(-1) \left(1-x \right)
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \dfrac{f(-1)}{2}(1-x)$

Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-a)(x-b)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-a)(x-b)+\text{sisa}$
Suku banyak $f(x)$ dibagi $(x-1)(3x-2)$ maka $f(x)=H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n$

$f(x)$ dibagi $(x-1)$ sisa $30$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f(1) & = 30 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f(1) & = m(1)+n \\ 30 & = m+n
\end{align} $

$f(x)$ dibagi $(3x-2)$ sisa $15$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
f \left( \frac{2}{3} \right) & = 15 \\ f(x) &= H(x) \cdot (x-1)(3x-2)+mx+n \\ f \left( \frac{2}{3} \right) & = m\left( \frac{2}{3} \right)+n \\ 15 & = \left( \frac{2}{3} \right)m+n \\ 45 & = 2m+3n
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
m+n = 30 & \times 2 \\ 2m+3n = 45 & \times 1 \\ \hline
2m+2n = 60 & \\ 2m+3n = 45 & (-)\\ \hline
n = -15 & \\ m = 45
\end{array} $
Sisa pembagian $mx+n$ dalah $45x-15$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 45x-15$

Dari suku banyak $x^{4}-8x^{3}+2ax^{2}+(5b+3)x+4c-3=0$ dan dengan menggunakan teorema akar vieta kita peroleh:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8$

Dengan diurutkan menurut nilainya dari yang terkecil ke yang terbesar, maka terbentuk barisan aritmatika dengan beda $2$,
$ \begin{align}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\dfrac{b}{a} &= 8
x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6= 8 \\ 4x_{1} + 12 & = 8 \\ x_{1} & = -1
\end{align} $
Untuk $x_{1}=-1$, maka $x_{2}=1$, $x_{3}=3$ dan $x_{4}=5$

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4} & = \dfrac{c}{a} \\ -1 -3 -5+3+5+15 & = \dfrac{2a}{1} \\ 14 & = 2a \\ a & = 7
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4} & = -\dfrac{d}{a} \\ -3-5-15+15 & = -\dfrac{5b+3}{1} \\ -8 & = -5b-3 \\ b & = 1
\end{align} $

$ \begin{align}
x_{1}x_{2}x_{3}x_{4} & = \dfrac{e}{a} \\ -15 & = \dfrac{4c-3}{1} \\ -15 & = 4c-3 \\ c & = -3
\end{align} $

Nilai $a+b+c+d$ adalah $7+1-3=5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x-2$ sisa $27$, maka $f(2)=27$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)-3 & = 27 \\ 8 +4a +2b -3 & = 27 \\ 4a +2b & = 22 \\ 2a + b & = 11
\end{align} $

Suku banyak $x^{3}+ax^{2}+bx-3$ dibagi $x+1$ sisa $3$, maka $f(-1)=3$, sehingga berlaku:
$ \begin{align}
(-1)^{3}+a(-1)^{2}+b(-1)-3 & = 3 \\ -1 + a - b -3 & = 3 \\ a - b & = 7
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b = 11 & \\ a-b = 7\ \ (+)& \\ \hline
3a = 18 & \\ a = 6 & \\
b = -1
\end{array} $

Untuk $a=6$ dan $b=-1 $ kita peroleh suku banyak menjadi $x^{3}+6x^{2}-x-3$, dan dibagi $x-1$ sisanya adalah:
$ \begin{align}
(1)^{3}+6(1)^{2}-(1)-3 & = 1+6-1-3 \\ & = 3
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 3$

suku banyak $f(x)$ dibagi $x$ sisa $2$ maka $f(0)=2$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x-1$ sisa $3$ maka $f(1)=3$,
suku banyak $f(x)$ dibagi $x+2$ sisa $4$ maka $f(-2)=4$

suku banyak $f(x)$ dibagi $x^{3} + x^{2} - 2x$ maka:
$ \begin{align}
f(x) &=H(x) \cdot x^{3} + x^{2} - 2x+\text{sisa} \\ &=H(x) \cdot x \left(x^{2} + x - 2 \right)+ax^{2}+bx+c \\ &=H(x) \cdot x \left( x+2 \right) \left( x-1 \right) + ax^{2}+bx+c \\ \hline
f(0) &= c\ \rightarrow\ c=2 \\ f(1) &= a+b+c \\ 3 &= a+b+ 2 \\ 1 &= a+b \\ f(-2) &= 4a-2b+c \\ 4 &= 4a-2b+2 \\ 1 &= 2a- b
\end{align} $

$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1 & \\ 2a-b = 1\ \ (+)& \\ \hline
3a = 2 & \\ a = \dfrac{2}{3} & \\
b = \dfrac{1}{3} &
\end{array} $

Untuk $a=\dfrac{2}{3}$, $b=\dfrac{1}{3}$ dan $c=2$, maka sisa $ax^{2}+bx+c$ adalah $\dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ \dfrac{2}{3}x^{2}+\dfrac{1}{3}x+2$

Untuk mendapatkan akar-akar riil atau akar-akar rasional persamaan suku banyak, salah satu caranya adalah dengan mencoba nilai $x$ yang mungkin jadi salah satu akar persamaan suku banyak.

Dari bentuk persamaan suku banyak di atas, salah satu akar yang sudah pasti adalah $x=0$ sehingga tidak perlu kita coba lagi, bentuk suku banyak menjadi:
$x \left( x^{4}-4x^{3}-2x^{2}-54 \right) =0$

berikutnya kita coba untuk $x=2$
$ \begin{align}
& x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54 \\ & = (2)^{4}-4(2)^{3}-2(2)^{2}+39(2)-54 \\ & = 16-32-8+78-54 \\
&= 0
\end{align} $
artinya $x=2$ merupakan salah satu akar suku banyak atau $(x-2)$ merupakan salah satu faktor suku banyak.

Berikutnya suku banyak $x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+39x-54$ kita bagi dengan $(x-2)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -1$

Pada soal disampaikan bahwa $P(x)$ dibagi $(x-2010)$ sisanya $6$, sehingga berdasarkan teorema sisa suku banyak $F(x)$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$ berlaku $P(2010)=6$.

Yang ditanyakan adalah $P(x)$ dibagi $(x+2010)$ atau $p(-2010)$

$\begin{align}
P(x) &= ax^{5}+bx-1 \\ P(2010) &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 6 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right)-1 \\ 7 &= a \left( 2010 \right)^{5}+b\left( 2010 \right) \\ 7 &=2010 \left( a \left( 2010 \right)^{4}+b \right) \\ \dfrac{7}{2010} &= a \left( 2010 \right)^{4}+b \\ \hline
p(-2006) &= a \left( -2010 \right)^{5}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= a \left( -2010 \right) \cdot \left( -2010 \right)^{4}+b\left( -2010 \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( a \cdot \left(2010 \right)^{7}+b \right)-1 \\ &= \left( -2010 \right) \left( \dfrac{7}{2010} \right)-1 \\ &= -7 -1 =-8
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -8$

Pada soal disampaikan bahwa $81x^{3} + 9x^{2} - 9x + 4$ dibagi $(3x - p)$ sisanya $3p^{3} + 2$, sehingga berdasarkan teorema sisa untuk $x=\dfrac{p}{3}$ berlaku:
$\begin{align}
81\left( \frac{p}{3} \right)^{3} + 9\left( \frac{p}{3} \right)^{2} - 9\left( \frac{p}{3} \right) + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 81 \cdot \dfrac{p^{3}}{3^{3}} + 9 \cdot \dfrac{p^{2}}{3^{2}} - 9 \cdot \dfrac{p }{3} + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ 3p^{3} + p^{2} - 3p + 4 &= 3p^{3} + 2 \\ p^{2} - 3p + 2 &= 0 \\ \hline
p_{1} + p_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{-3}{1} =3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$

Pada soal disampaikan bahwa akar-akar suku banyak $f(x)$ membentuk barisan aritmatika, kita misalkan dengan; $a, a+b, a+2b$.

Nilai suku ketiga adalah tiga kali nilai suku pertama,
$\begin{align}
a+2b &= 3a \\ 2b &= 2a \\ b &= a \\ \end{align}$

Jumlah akar-akarnya sama dengan $12$
$\begin{align}
a + a+b + a+2b &= 12 \\ a + a+a + a+2a &= 12 \\ 6a &= 12 \\ a &= 2 \\ \end{align}$
Akar-akar suku banyak $f(x)$ adalah $2,4,6$, sehingga:
$\begin{align}
f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\ f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\ &= (x+4)(x+2)(x) \\ &= \left( x^{2}+6x+8 \right) (x) \\ &= x^{3}+6x^{2}+8x
\end{align}$
Suku banyak $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dibagi $x^{2}+1$, kita coba dengan manipulsi faktor $x^{2}=-1$.
$\begin{align}
f(x+6) &= x^{3}+6x^{2}+8x \\ &= x^{2} \cdot x+6x^{2}+8x \\ &= (-1) \cdot x+6(-1)+8x \\ &= -x-6+8x \\
&= 7x-6
\end{align}$
Sisa pembagian $f(x+6) = x^{3}+6x^{2}+8x $ dengan $x^{2}+1$ adalah $7x-6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 7x-6$

Bentuk suku banyak di atas jika kita ubah bentuknya menjadi dua suku banyak yang sama, maka akan kita peroleh:
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}+x+3}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{a}{ x-1}+\dfrac{b}{ x+1}+\dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^{2}-1}+ \dfrac{c}{ x+2} \\ &=\dfrac{\left[ (a+b)x+(a-b) \right] \left( x+2 \right)+c \left( x^{2}-1 \right)}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b)x^{2}+2(a+b)x+(a-b)x+2(a-b)+cx^{2}-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)} \\ &=\dfrac{(a+b+c)x^{2}+(3a+b)x+2a-2b-c}{\left( x^{2}-1 \right)\left( x+2 \right)}
\end{align}$
Dari kesamaan dua suku banyak di atas kita peroleh nilai $a+b+c=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Pemfaktoran Langsung dari suku banyak.

$ \begin{align} & x^{4}- ax^{3}+bx^{2} +4x-4 \\ & = \left( x-2 \right)^{2}\left( x^{2}+px+q \right) \\ & = \left( x^{2}-4x+4 \right) \left( x^{2}+px+q \right) \\ & = x^{4}+px^{3}+qx^{2}-4x^{3}-4x^{2}-4qx+4x^{2} +4px+4q \\ & = x^{4}+ \left( p-4 \right)x^{3}+\left( 4p+q+4 \right)x^{2}+\left( 4p-4q \right)x +4q \end{align} $

Dari kesamaan suku banyak di atas kita peroleh:

• $4q=-4$ maka $q=-1$
• $4p-4q=4$ atau $4p+4=4$ maka $p=0$
• $4p+q+4=b$ maka $b=4(0)+(-1)+4=3$
• $p-4=-a$ maka $a=4-0=4$
• Nilai $ab=(4)(3)=12$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 12$

Untuk menyelesaikan soal suku banyak di atas kita coba gunakan Metode Horner Kino.

Dari apa yang kita peroleh di atas, sisa yang kita peroleh $\left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right)$, sehingga dapat kita tuliskan: $ \begin{align} \left(-2A+11 \right)x+\left( -2A+B+8 \right) & \equiv 7x+14 \\ \hline -2A+11=7 & \\ -2A = -4 & \\ A = 2 & \\ -2A+B+8=14 & \\ -4+B+8 = 14 & \\ B = 10 & \end{align} $

Sekarang suku banyaknya adalah $x^{4}+3x^{3}+2x^{2} +5x+10$ dibagi $x^{2}+4x+4$ adalah:

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ x+2$

Dari teorema akar vieta untuk $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ akar-akarnya $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ dan $x_{4}$ berlaku $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} =-\dfrac{b}{a}$.

Sehingga untuk $x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+5x-6=0$ salah satu akarnya $2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{b}{a} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} &=-\dfrac{-5}{1} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 &=5 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} &=3 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 3$

Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.

$P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a$ dibagi dengan $\left( x+3 \right)$ bersisa $2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+a \\ P(-3) &= (-3)^{4}+5(-3)^{3}+9(-3)^{2}+13(-3)+a \\ 2 &= 81-135+81-39+a \\ 2 &=-12+a \longrightarrow a=14 \end{align}$

$P(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14$ dibagi dengan $\left( x+1 \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} P(x) &= x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+13x+14 \\ P(-1) &= (-1)^{4}+5(-1)^{3}+9(-1)^{2}+13(-1)+14 \\ &= 1- 5+9-13+14 \\ &=6 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 6$

Teorema sisa, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ dibagi oleh $(x-a)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(a)$.

$f(x)=x^{3}-5x+20$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(-3) &= (-3)^{3}-5(-3)+20 \\ a &= -27+15+20 = 8 \end{align}$

$g(x)=2x^{3}+5x^{2}+11$ dibagi dengan $h(x)=x+3$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} g(-3) &= 2(-3)^{3}+5(-3)^{2}+11 \\ b &= -54+45+11 = 2 \\ \hline a+b &= 10 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 10$

Teorema faktor, "jika suatu suku banyak $F(x)$ berderajat $n$ habis dibagi oleh $(x-a)$, maka $F(a)=0$.

$f(x)=\frac{1}{2}x^{4}-2ax^{2}+2a^{2}$ habis dibagi oleh $\left( x-4 \right)$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(4) &= \frac{1}{2}(4)^{4}-2a(4)^{2}+2a^{2} \\ 0 &= 128-32a+2a^{2} \\ 0 &= a^{2}-16a+64 \\ 0 &= \left( a-8 \right) \left( a-8 \right) \\ & a=8 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 8$

Untuk $f(1)= f(2)=0$ dan $f(x)= x^{3}+ax^{2}+bx+2$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\ f(1) &= (1)^{3}+a(1)^{2}+b(1)+2 \\ 0 &= 1+a +b +2 \\ -3 &= a+b \\ \hline f(x) &= x^{3}+ax^{2}+bx+2 \\ f(1) &= (2)^{3}+a(2)^{2}+b(2)+2 \\ 0 &= 8+4a +2b +2 \\ -10 &= 4a+2b \\ -5 &= 2a+ b \\ -5 &= a+ a+ b \\ -5 &= a+ -3 \\ a &= -2 \longrightarrow b=-1 \end{align}$

Untuk $a=-2$ dan $b=-1$, dapat kita peroleh:
$\begin{align} g(x) &= x^{2}- \left(a +b \right)x+ab \\ g(x) &= x^{2}+3x+2 \\ g(-1) &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 1-3+2 =0 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$

Disampaikan bahwa $f(x)=x^{3}+ax^{2}-bx-5$ dibagi $(x-2)$ memberikan hasil bagi $x^{2}+4x+11$ dan sisa $17$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & \equiv H(x) \cdot P \left( x \right) + Sisa \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv \left( x^{2}+4x+11 \right) \cdot \left( x-2 \right) + 17 \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}-2x^{2}+4x^{2}-8x+11x-22 + 17 \\ x^{3}+ax^{2}-bx-5 & \equiv x^{3}+2x^{2} +3x- 5 \\ a+b & = 2-3 =-1 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ -1$

Dikatakan salah satu akar suku banyak $f(x)=0$ adalah $a$, sehingga untuk $x=a$ berlaku $f(a)=0$.

$\begin{align} \left( x^{2}+3x+6 \right)f \left( x+2 \right) & = 0 \\ \left( x^{2}+3x+6 \right)=0\ \text{atau}\ & f \left( x+2 \right) = 0 \end{align}$

Dari $f(a)=0$ dan $f \left( x+2 \right) = 0$ dapat kita peroleh $a=x+2$ atau $x=a-2$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ a-2$

$\begin{align} \dfrac{x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a}{x-a} &=x^{2}+bx+3 \\ x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a &= \left( x^{2}+bx+3 \right)\left( x-a \right)+0 \end{align}$

Dari bentuk persamaan di atas dapat kita simpulkan bahwa $x^{3}+(b-a)x^{2}-ax-3a$ dibagi $\left( x-a \right)$ sisa $0$, sehingga untuk $x=a$ berlaku:
$\begin{align} (a)^{3}+(b-a)(a)^{2}-a(a)-3a &= 0 \\ a^{3}+a^{2}b-a^{3}-a^{2} -3a &= 0 \\ a^{2}b -a^{2} -3a &= 0 \\ a b -a -3 &= 0 \\ a b &= a+3 \\ \end{align}$

Diketahui bahwa $a$ merupakan sisa pembagian $\dfrac{x^{2}-x-3}{x+b}$, sehingga dapat kita peroleh:
$\begin{align} x^{2}-x-3 &= H\left( x \right)\left( x+b \right)+a \\ (-b)^{2}-(-b)-3 &= H\left( -b \right)\left( -b+b \right)+a \\ b^{2}+b -3 &= a \\ b^{2}+b &= a+3 \\ b^{2}+b &= a b \\ b + 1 &= a \\ 1 &= a-b \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 1$

Diketahui bahwa $f(x)$ berderajat $3$, habis dibagi $\left( x-3 \right)$ dan $\left( x+1 \right)$ maka dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ \hline f(4) & = \left( 4+a \right) \left( 4-3 \right) \left( 4+1 \right) \\ 30 & = \left( 4+a \right) \left( 1 \right) \left( 5 \right) \\ 6 & = 4+a \longrightarrow a=2 \\ \hline f(x) & = \left( x+a \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ f(x) & = \left( x+2 \right) \left( x-3 \right) \left( x+1 \right) \\ f(2) & = \left( 2+2 \right) \left( 2-3 \right) \left( 2+1 \right) \\ & = \left( 4 \right) \left( -1 \right) \left( 3 \right) \\ & = -12 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -12$

Dengan menggunakan teorema soal nomor $2$ Soal UM UNDIP 2015 di atas diketahui, jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x-a)(x-b)$ dengan $a \neq b$, maka sisa pembagian ini adalah $\dfrac{x-b}{a-b}f\left ( a \right )+\dfrac{x-a}{b-a}f\left ( b \right )$.

Sisa pembagian $ f \left( x \right)$ oleh $\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)$ adalah:
$\dfrac{\left(x-b \right)\left(x -c \right)}{\left(a-b \right)\left( a-c \right)}f\left ( a \right ) + \dfrac{\left(x-a \right)\left(x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}f\left ( b \right )+\dfrac{\left(x-a \right)\left(x-b \right)}{\left(c-a \right)\left( c-b \right)}f\left ( c \right )$

$f(x)$ habis dibagi $x^{2}-1$ maka $f(1)=0$ dan $f(-1)=0$. Sisa pembagian $f \left( x \right)$ oleh $\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)$ adalah:
$\begin{align} \text{sisa} & = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left(2-1 \right)\left(2+1 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left(-1-1 \right)\left(-1-2 \right)}f\left ( -1 \right )+\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left(1-2 \right)\left(1+1 \right)}f\left ( 1 \right ) \\ & = \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x+1 \right)}{\left( 1 \right)\left( 3 \right)}f\left ( 2 \right )+ \dfrac{\left(x-1 \right)\left(x-2 \right)}{\left( -2 \right)\left( -3 \right)} \cdot \left( 0 \right) +\dfrac{\left(x-2 \right)\left(x+1 \right)}{\left( -1 \right)\left( 2 \right)} \cdot \left ( 0 \right ) \\ & = \dfrac{x^{2}-1}{3}f\left ( 2 \right )+0+0 \\ & = \dfrac{1}{3} \left( x^{2}-1 \right) f\left ( 2 \right ) \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$

Secara umum soal di atas dapat kita kerjakan dengan menggunakan teorema sisa, yaitu:
$\begin{align} f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+sisa \\ f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\ f \left( 1 \right) & = \left(1-1 \right)\left(1+1 \right)\left(1-2 \right) \cdot H(1)+a(1)^{2}+b(1)+c \\ 0 & = a+b+c \\ \hline f \left( -1 \right) & = \left(-1-1 \right)\left(-1+1 \right)\left(-1-2 \right) \cdot H(-1)+a(-1)^{2}+b(-1)+c \\ 0 & = a-b+c \end{align}$

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align} a+b+c & = 0 \\ a-b+c & = 0\ \, (-) \\ \hline 2b & = 0 \longrightarrow b =0 \\ a+b+c & = 0 \\ a+0+c & = 0 \\ a+c & = 0 \longrightarrow a = -c \\ \end{align}$

Untuk $b=0$ dan $a=-c$ dapat kita peroleh:
$\begin{align} f \left(x \right) & = \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\left(x-2 \right) \cdot H(x)+ax^{2}+bx+c \\ f \left( 2 \right) & = \left(2-1 \right)\left(2+1 \right)\left(2-2 \right) \cdot H(2)+(-c)(2)^{2}+(0)(2)+c \\ f \left( 2 \right) & = -4c+ c \\ f \left( 2 \right) & = -3c \longrightarrow c=-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \end{align}$

$\begin{align} \text{sisa} & = ax^{2}+bx+c \\ & = \left( -c \right)x^{2}+(0)(c)-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \left( \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \right)x^{2}-\dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \\ & = \dfrac{1}{3}f \left( 2 \right) \left( x^{2}- 1 \right) \\ \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \frac{1}{3}f(2)\left( x^{2}-1 \right)$

Salah satu akar suku banyak $x^{3}+px^{2}+11x+p=0$ adalah $1$ sehingga berlaku:
$\begin{align} (1)^{3}+p(1)^{2}+11(1)+p & = 0 \\ 1 + p+11+p & = 0 \\ 2p & = -12 \\ p & = -6 \end{align}$

Untuk $p=-6$ maka $x^{3}-6x^{2}+11x-6=0$. Dengan teorema vieta dapat kita peroleh:
$\begin{align}
x_{1} + x_{2} + x_{3} & = -\dfrac{b}{a} \\ 1 + \alpha + \beta & = -\dfrac{-6}{1} \\ \alpha + \beta & = 5 \\ \left( \alpha + \beta \right)^{2} & = 5^{2} \\ \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\ \hline x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 \cdot \alpha + 1 \cdot \beta + \alpha \cdot \beta & = \dfrac{11}{1} \\ \alpha + \beta + \alpha \cdot \beta & = 11 \\ 5 + \alpha \cdot \beta & = 11 \\ \alpha \cdot \beta & = 6 \\ \hline \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \alpha\ \beta & = 25 \\ \alpha^{2} + \beta^{2} + 2 \cdot 6 & = 25 \\ \alpha^{2} + \beta^{2} & = 25-12=13 \end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 13$

Untuk suku banyak $F(x)$ yang dibagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ berlaku:
$ \begin{align} F(x) &= P\left( x \right) H\left( x \right) + S\left( x \right) \\ ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x^{2}-3x+2 \right) + x+1 \\ ax^{3}+bx +(a+b) &= H\left( x \right) \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) + x+1 \\ \hline a(1)^{3}+b(1) +(a+b) &= H\left( 1 \right) \left( 1-1 \right)\left( 1-2 \right) + 1+1 \\ a +b + a+b &= 2 \\ a +b &= 1 \\ \hline a(2)^{3}+b(2) +(a+b) &= H\left( 2 \right) \left( 2-1 \right)\left( 2-2 \right) + 2+1 \\ 8a + 2b + a+b &= 3 \\ 9a + 3b &= 3 \\ 3a + b &= 1 \end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
a+b &= 1 \\ 3a+b &= 1\ \, (-) \\ \hline -2a &= 0 \\ a &=0 \longrightarrow b=1 \\ a-b &= -1 \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ -1$

Untuk mendapatkan akar-akar polinomial, pertama dengan menguji nilai $x$ salah satu akar polinomial yang mungkin, yang diuji adalah faktor $\pm 1$ yaitu $\pm 1$.

Kita uji untuk $x=1$ kita peroleh:
$\begin{align} F\left( x \right) & = x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 \\ F\left( 1 \right) & = (1)^{5}-2(1)^{4}+ (1)^{3}-(1)^{2}+2(1)-1 \\ & = 1-2 + 1-1+2 -1 = 0 \\ \end{align}$
Salah satu akar suku banyak adalah $x=1$ sehingga salah satu faktornya $\left( x-1 \right)$. Jika kita bagikan $x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1$ dengan $\left( x - 1 \right)$ kita peroleh:

Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align} x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0 \end{align}$

Dengan cara yang sama kita coba faktorkan $\left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right)$ seperti berikut ini:

Dari hasil di atas, kita peroleh:
$\begin{align} x^{5}-2x^{4}+ x^{3}-x^{2}+2x-1 & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x^{4} -x^{3}-x +1 \right) & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{3} - 1 \right) & = 0 \\ \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x -1 \right) \left( x^{2} +x+1 \right) & = 0 \end{align}$
$x^{2} +x+1$ nilai $D \lt 0$ sehingga akar-akarnya tidak real.
Banyaknya akar-akar real persamaan suku banyak yang berbeda adalah $1$.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 1$

Disampaikan bahwa $P(x)=x^{3}+2x^{2}+mx+n$ dibagi $(x^{2}-4x+3)$ memberikan sisa $3x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align} P(x) &= H\left( x \right) (x^{2}-4x+3) + S\left( x \right) \\ x^{3}+2x^{2}+mx+n &= H\left( x \right) \left( x-3 \right)\left( x-1 \right) + 3x+2 \\ \hline x=3 \rightarrow (3)^{3}+2(3)^{2}+m(3)+n &= H\left( 3 \right) \left( 3-3 \right)\left( 3-1 \right) + 3(3)+2 \\ 27+18+3m +n &= 20 \\ 3m+n &= -34\\ \hline x=1 \rightarrow (1)^{3}+2(1)^{2}+m(1)+n &= H\left( 1 \right) \left( 1-3 \right)\left( 1-1 \right) + 3(1)+2 \\ 1+2+ m +n &= 5 \\ m+n &= 2 \end{align} $

Dari kedua persamaan di atas kita peroleh:
$\begin{align}
3m+n &= -34 \\ m+n &= 2\ \, \, \, (-) \\ \hline 2m &= -36 \\ m &= -18 \longrightarrow n=20 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 20$

Diketahui $P(y)=y$ sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align}
P(x) & = x^{3}+ax^{2}+bx+c \\ P(y) & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\ y & = y^{3}+ay^{2}+by+c \\ 0 & = y^{3}+ay^{2}+by-y+c \\ 0 & = y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c \end{align} $

Terdapat tepat satu nilai $y$ yang memenuhi $P(y)=y$ sehingga akar-akar dari persamaan $y^{3}+ay^{2}+ \left(b -1 \right)y+c=0$ hanya ada satu atau $y_{1}=y_{2}=y_{3}$. Sehingga dengan menggunakan teorema vieta dapat kita peroleh:

• $y_{1}+y_{2}+y_{3}=-\dfrac{a}{1}$
  $ \begin{align} y_{1}+y_{1}+y_{1} & = -a \\ 3y_{1} & =-a \\ y_{1} & = -\dfrac{1}{3}a \end{align} $
• $y_{1} \cdot y_{2} + y_{1} \cdot y_{3}+ y_{2}\cdot y_{3} = \dfrac{b-1}{1}$
  $ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} + y_{1} \cdot y_{1}+ y_{1}\cdot y_{1} & = b-1 \\ 3y^{2}_{1} & = b-1 \\ y^{2}_{1} & = \dfrac{b-1}{3} \\ \end{align} $
• $y_{1} \cdot y_{2} \cdot y_{3} = -\dfrac{c}{1}$
  $ \begin{align} y_{1} \cdot y_{1} \cdot y_{1} & = -c \\ y_{1} \cdot y^{2}_{1} & = -c \\ -\dfrac{1}{3}a \cdot \dfrac{b-1}{3} & = -c \\ \dfrac{ab-a}{9} & = c \\ ab-a & = 9c \\ \end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ ab-a$

Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $f(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align} f(x) &= x^{3}-4x+1 \\ f(-2) &= (-2)^{3}-4(-2)+1 \\ a &= -8+8+1 \rightarrow a=1 \end{align} $

Diketahui $a$ adalah sisa hasil pembagian $g(x)$ oleh $x+2$, sehingga dapat kita peroleh:
$ \begin{align} g(x) &= 2x^{3}+5x^{2}-8 \\ g(-2) &= 2(-2)^{3}+5(-2)^{2}-8 \\ b &= -16+20-8 \rightarrow b=-4 \end{align} $

Sisa hasil pembagian $f(x)-g(x)$ oleh $\left( x-a-b \right)$ atau $\left( x+3 \right)$ dapat kita peroleh:
$\begin{align}
f(x)-g(x) &= \left( x^{3}-4x+1 \right) - \left( 2x^{3}+5x^{2}-8 \right) \\ f(x)-g(x)&=-x^{3}-5x^{2}-4x+ 9 \\ f(-3)-g(-3) &=-(-3)^{3}-5(-3)^{2}-4(-3)+ 9 \\ &=27-45+12+9 \\ &= 3 \end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 3$